方差、标准差、极差及平均差公式解析
极差与平均差
极差，即数据组中最大值与最小值的差，其计算公式为：[ \text极差} = \text最大值} – \text最小值} ]
平均差，则是所有个体与其算术平均数的离差完全值的算术平均数，公式如下：[ \text平均差} = \frac\sum_i=1}^N} |x_i – \barx}|}N} ](x_i) 为个体值，(\barx}) 为算术平均数，(N) 为个体总数。
在实际应用中,方差和标准差更多地被用来衡量数据的离散程度。
方差的计算
计算方差的步骤如下：
- 开头来说计算每个数据点与平均值之差的平方。
- 接着求这些平方差的平均值。
以数据组 ((1, 2, 3, 4, 5)) 为例，其平均值为 3，计算每个数据点与平均值之差的平方得：[ (1-3)^2 = 4, \quad (2-3)^2 = 1, \quad (3-3)^2 = 0, \quad (4-3)^2 = 1, \quad (5-3)^2 = 4 ]接着求这些平方差的平均值：[ \frac4 + 1 + 0 + 1 + 4}5} = 2 ]这组数据的方差为 2。
样本均值的计算
以样本 (21, 225, 27, 29, 31}) 为例，其均值计算如下：[ \text均值} = \frac21 + 225 + 27 + 29 + 31}5} = 48.2 ]
方差、标准差、极差及平均差的公式
-
方差：衡量一组数据离散程度的统计量，公式为：[ \sigma^2 = \frac\sum_i=1}^N}(x_i – \mu)^2}N} ](\sigma^2) 为方差，(x_i) 为数据点，(\mu) 为总体均值，(N) 为数据点个数。
-
标准差：方差的平方根，公式为：[ \sigma = \sqrt\sigma^2} ]
-
极差：最大值与最小值之差，公式为：[ \text极差} = \text最大值} – \text最小值} ]
-
平均差：所有个体与其算术平均数的离差完全值的算术平均数，公式为：[ \text平均差} = \frac\sum_i=1}^N} |x_i – \barx}|}N} ]
方差的简化公式
方差的简化公式为：[ \textVar}(x) = \frac\sum_i=1}^N}(x_i – \barx})^2}N-1} ](\textVar}(x)) 表示样本方差，(x_i) 为数据点，(\barx}) 为样本平均值，(N) 为数据点个数。
单个资产的方差与标准差计算
单个资产的方差和标准差计算如下：
- 方差：将偏差平方求和后除以（(n-1)）。
- 概率分布：将偏差平方乘以对应概率后求和。
- 标准差：对方差开平方根,得到标准差。
投资组合的方差与标准差
投资组合的方差和标准差计算如下：
- 方差：(\sigma^2 = \sum_i=1}^N}w_i^2\sigmai^2 + 2\sumi=1}^N}\sum_j=i+1}^N}w_iw_j\sigma_i\sigmaj\rhoij})
- 标准差：(\sigma = \sqrt\sigma^2})
(w_i) 为投资组合中第 (i) 项资产的权重，(\sigmai) 为第 (i) 项资产的标准差，(\rhoij}) 为 (i) 和 (j) 项资产的相关系数。
